【矩阵分解】那些在Netflix Prize中大放异彩的推荐算法

早在前几篇务虚的文章中，我就和你聊过了推荐系统中的经典问题，其中有一类就是评分预测。

让我摸着自己的良心说，评分预测问题只是很典型，其实并不大众，毕竟在实际的应用中，评分数据很难收集到，属于典型的精英问题；与之相对的另一类问题行为预测，才是平民级推荐问题，处处可见。

缘起

评分预测问题之所以“虽然小众却十分重要”，这一点得益于十多年前 Netflix Prize 的那一百万美元的悬赏效应。

公元 2006 年 10 月 2 号，对于很多人来说，这只是平凡了无新意的一天，但对于推荐系统从业者来说，这是不得了的一天，美国著名的光盘租赁商 Netflix 突然广发英雄帖，放下“豪”言，这个就是土豪的“豪”，凡是能在他们现有推荐系统基础上，把均方根误差降低 10% 的大侠，可以瓜分 100 万美元。消息一出，群贤毕至。

Netflix 放出的比赛数据，正是评分数据，推荐系统的问题模式也是评分预测，也就是为什么说，评价标准是均方根误差了。

这一评分预测问题在一百万美元的加持下，催生出无数推荐算法横空出世，其中最为著名的就是一系列矩阵分解模型，而最最著名的模型就是 SVD 以及其各种变体。这些模型后来也经受了时间检验，在实际应用中得到了不同程度的开枝散叶。

今天我就来和你细聊一下矩阵分解，SVD 及其最有名的变种算法。

矩阵分解

为什么要矩阵分解

聪明的你也许会问，好好的近邻模型，一会儿基于用户，一会儿基于物品，感觉也能很酷炫地解决问题呀，为什么还要来矩阵分解呢？

刨除不这么做就拿不到那一百万的不重要因素之外，矩阵分解确实可以解决一些近邻模型无法解决的问题。

我们都是读书人，从不在背后说模型的坏话，这里可以非常坦诚地说几点近邻模型的问题：

1. 物品之间存在相关性，信息量并不随着向量维度增加而线性增加；
2. 矩阵元素稀疏，计算结果不稳定，增减一个向量维度，导致近邻结果差异很大的情况存在。

上述两个问题，在矩阵分解中可以得到解决。矩阵分解，直观上说来简单，就是把原来的大矩阵，近似分解成两个小矩阵的乘积，在实际推荐计算时不再使用大矩阵，而是使用分解得到的两个小矩阵。

具体说来就是，假设用户物品的评分矩阵 A 是 m 乘以 n 维，即一共有 m 个用户，n 个物品。我们选一个很小的数 k，这个 k 比 m 和 n 都小很多，比如小两个数量级这样，通过一套算法得到两个矩阵 U 和 V，矩阵 U 的维度是 m 乘以 k，矩阵 V 的维度是 n 乘以 k。

这两个矩阵有什么要求呢？要求就是通过下面这个公式复原矩阵 A，你可以点击文稿查看公式。

类似这样的计算过程就是矩阵分解，还有一个更常见的名字叫做 SVD；但是，SVD 和矩阵分解不能划等号，因为除了 SVD 还有一些别的矩阵分解方法。

1 基础的 SVD 算法

值得一说的是，SVD 全称奇异值分解，属于线性代数的知识 ; 然而在推荐算法中实际上使用的并不是正统的奇异值分解，而是一个伪奇异值分解（具体伪在哪不是本文的重点）。

今天我介绍的 SVD 是由 Netflix Prize 中取得骄人成绩的 Yehuda Koren 提出的矩阵分解推荐算法。

按照顺序，首先介绍基础的 SVD 算法，然后是考虑偏置信息，接着是超越评分矩阵增加多种输入，最后是增加时间因素。好，一个一个来。

前面已经从直观上大致说了矩阵分解是怎么回事，这里再从物理意义上解释一遍。矩阵分解，就是把用户和物品都映射到一个 k 维空间中，这个 k 维空间不是我们直接看得到的，也不一定具有非常好的可解释性，每一个维度也没有名字，所以常常叫做隐因子，代表藏在直观的矩阵数据下面的。

每一个物品都得到一个向量 q，每一个用户也得到一个向量 p。对于物品，与它对应的向量 q 中的元素，有正有负，代表着这个物品背后暗藏的一些用户关注的因素。

对于用户，与它对应的向量 p 中的元素，也有正有负，代表这个用户在若干因素上的偏好。物品被关注的因素，和用户偏好的因素，它们的数量和意义是一致的，就是我们在矩阵分解之处人为指定的 k。

举个例子，用户 u 的向量是 pu，物品 i 的向量是 qi，那么，要计算物品 i 推荐给用户 u 的推荐分数，直接计算点积即可：

看上去很简单，难在哪呢？难在如何得到每一个用户，每一个物品的 k 维向量。这是一个机器学习问题。按照机器学习框架，一般就是考虑两个核心要素：

1. 损失函数；
2. 优化算法。

SVD 的损失函数是这样定义的：

理解 SVD 的参数学习过程并不是必须的，如果你不是算法工程师的话不必深究这个过程。

由于这个公式略复杂，如果你正在听音频，就需要自己看一下图片。这个损失函数由两部分构成，加号前一部分控制着模型的偏差，加号后一部分控制着模型的方差。

前一部分就是：用分解后的矩阵预测分数，要和实际的用户评分之间误差越小越好。

后一部分就是：得到的隐因子向量要越简单越好，以控制这个模型的方差，换句话说，让它在真正执行推荐任务时发挥要稳定。这部分的概念对应机器学习中的过拟合，有兴趣可以深入了解。

整个 SVD 的学习过程就是：

1. 准备好用户物品的评分矩阵，每一条评分数据看做一条训练样本；
2. 给分解后的 U 矩阵和 V 矩阵随机初始化元素值；
3. 用 U 和 V 计算预测后的分数；
4. 计算预测的分数和实际的分数误差；
5. 按照梯度下降的方向更新 U 和 V 中的元素值；
6. 重复步骤 3 到 5，直到达到停止条件。

过程中提到的梯度下降是优化算法的一种，想深入了解可以参见任何一本机器学习的专著。

得到分解后的矩阵之后，实质上就是得到了每个用户和每个物品的隐因子向量，拿着这个向量再做推荐计算就简单了，哪里不会点哪里，意思就是拿着物品和用户两个向量，计算点积就是推荐分数了。

2 增加偏置信息

到现在，你已经知道基础的 SVD 是怎么回事了。现在来多考虑一下实际情况，试想一下：有一些用户会给出偏高的评分，比如标准宽松的用户；有一些物品也会收到偏高的评分，比如一些目标观众为铁粉的电影，甚至有可能整个平台的全局评分就偏高。

所以，原装的 SVD 就有了第一个变种：把偏置信息抽出来的 SVD。

一个用户给一个物品的评分会由四部分相加：

从左至右分别代表：全局平均分、物品的评分偏置、用户评分的偏置、用户和物品之间的兴趣偏好。

针对前面三项偏置分数，我在这里举个例子，假如一个电影评分网站全局平均分是 3 分，《肖申克的救赎》的平均分比全局平均分要高 1 分。

你是一个对电影非常严格的人，你一般打分比平均分都要低 0.5，所以前三项从左到右分别就是 3，1，-0.5。如果简单的就靠这三项，也可以给计算出一个你会给《肖申克的救赎》打的分数，就是 3.5。

增加了偏置信息的 SVD 模型目标函数稍有改变：

和基本的 SVD 相比，要想学习两个参数：用户偏置和物品偏置。学习的算法还是一样的。

3 增加历史行为

探讨完增加偏执信息的 SVD 后，接着你再思考一个问题：有的用户评分比较少。事实上这很常见，相比沉默的大多数，主动点评电影或者美食的用户是少数。

换句话说，显式反馈比隐式反馈少，那么能不能利用隐式反馈来弥补这一点呢？另外，再考虑多一点，对于用户的个人属性，比如性别等，是不是也可以加入到模型中来弥补冷启动的不足呢？

是的，都是可以的，在 SVD 中结合用户的隐式反馈行为和属性，这套模型叫做 SVD++。

先说隐式反馈怎么加入，方法是：除了假设评分矩阵中的物品有一个隐因子向量外，用户有过行为的物品集合也都有一个隐因子向量，维度是一样的。把用户操作过的物品隐因子向量加起来，用来表达用户的兴趣偏好。

类似的，用户属性，全都转换成 0-1 型的特征后，对每一个特征也假设都存在一个同样维度的隐因子向量，一个用户的所有属性对应的隐因子向量相加，也代表了他的一些偏好。

综合两者，SVD++ 的目标函数中，只需要把推荐分数预测部分稍作修改，原来的用户向量那部分增加了隐式反馈向量和用户属性向量：

学习算法依然不变，只是要学习的参数多了两个向量：x 和 y。一个是隐式反馈的物品向量，另一个用户属性的向量。

这样一来，在用户没有评分时，也可以用他的隐式反馈和属性做出一定的预测。

4 考虑时间因素

截止到目前，我们还没有正视过一个人性：人是善变的。这个是一个广义的评价，我们在进步也是在变化，今天的我们和十年前的我们很可能不一样了。这是常态，因此，在 SVD 中考虑时间因素也变得顺理成章。

在 SVD 中考虑时间因素，有几种做法：

1. 对评分按照时间加权，让久远的评分更趋近平均值；
2. 对评分时间划分区间，不同的时间区间内分别学习出隐因子向量，使用时按照区间使用对应的隐因子向量来计算；
3. 对特殊的期间，如节日、周末等训练对应的隐因子向量。

总结

至此，我们介绍了在 Netflix Prize 比赛中最为出众的模型：SVD 及其一些典型的改进。改进方案分别是：

1. 考虑偏置信息；
2. 考虑隐式反馈和用户属性；
3. 考虑时间因素。
   其实 Netflix Prize 比赛上诞生了很多其他优秀的算法，或者把一些已有的算法应用得到很好的效果，比如受限玻尔兹曼机用来融合多个模型，这个我会在后面的专栏文章中专门再讲。

好了，最后我要给你留一个思考题，假如矩阵分解面对的数据不是评分数据，而是行为数据，那么今天讲到的损失函数是否依然有效呢？欢迎留言一起讨论。感谢你的收听，我们下次再见。